Model duopolu Bertranda – mikroekonomia

Model duopolu Bertranda jest klasycznym narzędziem mikroekonomii służącym do analizy konkurencji w warunkach, kiedy na rynku działają dwie firmy oferujące homogeniczny produkt i rywalizujące jedynie poprzez ustalanie ceny. Wbrew intuicji, nawet tak prosty model prowadzi do zaskakujących wniosków: przy założeniu nieograniczonych zdolności produkcyjnych i identycznych kosztów krańcowych równowagowa cena spada do poziomu równego kosztowi krańcowemu, co eliminuje nadzwyczajne zyski przedsiębiorstw. Ten tekst omawia założenia, matematyczne rozwiązanie, ograniczenia oraz rozszerzenia modelu, a także praktyczne konsekwencje dla polityki konkurencji i interpretacji empirycznej.

Podstawy modelu Bertranda

Model Bertranda powstał jako odpowiedź na wcześniejsze podejścia do oligopolu, takie jak model Cournota, w którym przedsiębiorstwa konkurują poprzez wielkość produkcji. W modelu Bertranda zakłada się, że firmy konkurują wyłącznie poprzez ustalanie cen swoich produktów. Najważniejsze elementy klasycznej wersji to:

• Dwóch producentów (duopol), oferujących identyczny, doskonale wymienny produkt.
• Konsumenci wybierają produkt tańszy; w przypadku identycznych cen popyt jest dzielony (np. po połowie) między firmy.
• Firmy mają znane, stałe koszty krańcowe (często oznaczane jako c) i brak ograniczeń dotyczących zdolności produkcyjnych.
• Racjonalni gracze znamy wzajemnie oczekiwania; jednoczesne ustalanie cen prowadzi do gry statycznej z doskonałą informacją o strukturze gry.

W tej konfiguracji firma, chcąc zwiększyć zysk, ma silny bodziec do lekkiego obniżenia ceny konkurenta i przejęcia całego popytu. To prowadzi do tzw. paradoksu Bertranda: pomimo istnienia tylko dwóch firm, wynik rynkowy odpowiada pełnej konkurencji cenowej. Warto podkreślić, że ten efekt opiera się krytycznie na kilku kluczowych założeniach — ich złamanie zmienia rezultaty modelu.

Matematyczne rozwiązanie i paradoks Bertranda

Rozważmy prosty przykład, by zobrazować mechanizm. Niech p1 i p2 będą cenami ustalonymi przez firmę 1 i firmę 2, zaś c jest stałym kosztem krańcowym. Dla uproszczenia przyjmijmy, że popyt rynkowy przy cenie p wynosi D(p) i jest malejący w p. Zasady alokacji popytu to: konsumenci wybierają tańszą ofertę; jeśli p1 < p2, firma 1 otrzymuje cały popyt D(p1), jeśli p2 < p1 — firma 2 otrzymuje D(p2); jeśli p1 = p2, popyt dzielony jest po połowie.

Funkcja zysku firmy i, przy założeniu, że konkurent ustalił cenę pj, wynosi:

πi(pi, pj) = (pi − c) × Di(pi, pj),

gdzie Di(pi, pj) to popyt przypadający firmie i. Jeśli firma 2 ustawiła cenę p2 > c, firma 1 może ustawić p1 = p2 − ε (dla drobnego ε) i przejąć cały popyt przy cenie tuż poniżej p2. Taki ruch zwiększy jej zysk w porównaniu z ustawieniem p1 = p2 (gdy popyt jest dzielony). Proces obniżania cen przez podbicie minimalnego odchylenia trwa aż do momentu, w którym żadne dalsze obniżenie nie będzie opłacalne. W równowadze każdy gracz bierze pod uwagę, że obniżenie ceny poniżej kosztu krańcowego byłoby stratne, dlatego stabilnym wynikiem jest:

• p1* = p2* = c
• π1* = π2* = 0

To jest właśnie istota paradoksu Bertranda: ilekroć firmy oferują homogeniczny produkt i mają nieograniczone zdolności produkcyjne, ostateczna równowaga cenowa prowadzi do ceny równej kosztowi krańcowemu, a zyski ekonomiczne znikają, tak jak w konkurencji doskonałej.

Formalny argument dla braku innego punktu równowagi

• Załóżmy, że istnieje równowaga z p>c. Wówczas każdy z graczy mógłby obniżyć cenę o dowolnie małą wartość, przejmując cały popyt i zwiększając zysk (ponieważ (p − ε − c)D(p − ε) > (p − c)D(p)/2 dla małego ε). To przeczy stwierdzeniu o równowadze.
• Załóżmy teraz, że p<c. Firma obniżająca cenę poniżej kosztu krańcowego ponosi stratę, więc nie jest to równowaga. Pozostaje więc jedynie p=c.

Warto zauważyć, że w modelu z dyskretną grą cenową (gdzie ceny mogą przyjmować tylko pewne skoki) równowaga w czystych strategiach może nie istnieć, ale dość często istnieje równowaga mieszana. Jednakże kluczowy wniosek o presji cenowej w stronę kosztu krańcowego pozostaje centralny.

Ograniczenia modelu i rozszerzenia

Choć klasyczny model Bertranda jest elegancki i daje silne intuicje, jego założenia bywają zbyt uproszczone względem rzeczywistych rynków. Najważniejsze modyfikacje i rozszerzenia modelu pokazują, jak wprowadzenie realistycznych cech rynku zmienia wyniki:

• Ograniczenia mocy produkcyjnych: Jeśli firmy mają ograniczone zdolności (capacity constraints), nie zawsze opłaca się obniżać cenę, by przejąć cały popyt. W takim przypadku równowagi cenowe zwykle leżą powyżej kosztu krańcowego, a duopol może uzyskiwać pozytywne marże.
• Różnice w kosztach: Jeśli firmy mają różne koszty krańcowe, niższy kosztowny producent może zająć większy udział rynku, ale cena równowagi będzie zwykle nieco powyżej niższych kosztów i poniżej wyższych kosztów konkurenta w zależności od struktury popytu.
• Produkty zróżnicowane: Gdy produkt nie jest doskonale homogeniczny (różnicowanie jakościowe lub lokalizacyjne), firmy mają mniejszą skłonność do wyścigu cenowego. Modele z wyróżnieniem preferencji konsumentów (np. model Hotellinga) pokazują wyższe ceny i dodatnie zyski.
• Dynamiczna konkurencja i powtarzanie gry: Gdy przedsiębiorstwa konkurują na przestrzeni czasu, możliwość karania za agresywne obniżanie cen (np. zmowy lub wojny cenowe) może wspierać wyższe ceny w równowadze długookresowej.
• Niepewność i asymetria informacji: Jeśli firmy nie znają dokładnie popytu lub kosztów konkurenta, zachowanie cenowe może przyjąć formę mieszanych strategii lub prowadzić do rozproszenia cen na rynku.

Każde z tych rozszerzeń łagodzi surowość paradoksu Bertranda i przybliża model do obserwowanych na realnych rynkach zachowań.

Strategie, mieszane równowagi i dłuższe perspektywy

W modelach dyskretnych lub z niedoskonałą wiedzą o przeciwniku istnieje możliwość równowag mieszanych: przedsiębiorstwa losowo wybierają ceny z pewnego rozkładu, co daje dodatnie oczekiwane zyski. Mechanika jest taka, że losowość chroni przed byciem stale podgryzanym przez konkurenta. Jednak nawet w tych wersjach, w miarę gdy przestrzeń cen staje się gęstsza, rozkład mieszany koncentruje się bliżej kosztu krańcowego.

W grach powtarzanych w nieskończoność firmy mogą stosować strategie karne (np. tit-for-tat), co umożliwia utrzymanie cen powyżej kosztów krańcowych. Warunkiem jest jednak odpowiednio duży dyskont future (duża wartość współczynnika dyskontowego), żeby przyszłe kary odsuwać krótkookresową korzyść z odstąpienia od kooperacji.

W praktyce firmy wykorzystują też inne instrumenty niż cena, by konkurować: reklama, jakość, programy lojalnościowe, dystrybucja. Wszystkie te elementy mogą zmniejszać bezpośrednią presję cenową typową dla modelu Bertranda.

Zastosowania empiryczne i implikacje polityczne

Model Bertranda służy jako punkt odniesienia przy ocenie intensywności konkurencji cenowej na rynkach. Jego praktyczne zastosowania obejmują analizę rynku paliw, telekomunikacji, handlu elektronicznego oraz lotnictwa — wszędzie tam, gdzie firmy konkurują przede wszystkim przez ceny. Obserwowane rozproszenie cen i marż w praktyce wskazuje jednak na obecność różnic jakościowych, ograniczeń zdolności produkcyjnych oraz frikcji transakcyjnych.

Implicite, model ma znaczenie dla polityki antymonopolowej i regulacji:

• Jeśli rynek przypomina warunki modelu Bertranda (homogeniczny produkt, nieograniczona podaż), regulator może uznać, że naturalna konkurencja skutecznie ogranicza marże, więc interwencje powinny być ograniczone.
• Jeśli obserwuje się systematyczne ceny powyżej kosztów wraz z niską dynamiką wejścia konkurentów, przyczyną mogą być bariery wejścia lub ograniczenia zdolności, które wymagają interwencji politycznej.
• Dowody na porozumienia cenowe lub stabilne oligopolistyczne marże mogą sugerować potrzebę śledztw antymonopolowych; model Bertranda pomaga uściślić, jakie odchylenia od swobodnej konkurencji są istotne.

Modele pokrewne i literackie odniesienia

Klasyczny artykuł J. Bertranda uzupełnia literatura dotycząca oligopolu w ekonomii: modele Cournota (konkurencja ilościowa), Stackelberga (przywództwo cenowe/ilościowe), Hotellinga (lokalizacja i preferencje) oraz nowsze prace obejmujące ceny dyskryminacyjne, aukcje i mechanizmy platformowe. Każdy z tych modeli eksponuje inny aspekt strategicznej interakcji przedsiębiorstw i daje odmienny obraz równowagowych cen i zysków.

Z perspektywy dydaktycznej model Bertranda jest niezwykle wartościowy, ponieważ ilustruje, że instrument konkurencji (cena vs ilość) oraz dodatkowe ograniczenia (moce produkcyjne, różnicowanie) mają fundamentalne znaczenie dla wyników rynkowych. Pokazuje też, jak w ekonomii prosty zbiór założeń może prowadzić do mocnych, wręcz kontrintuicyjnych wniosków, co stanowi cenny punkt wyjścia do dalszych badań i dyskusji.

• W modelu Cournota dwaj producenci ustalają ilości i końcowa cena rynkowa zwykle przewyższa koszt krańcowy — firmy uzyskują dodatnie zyski.
• W modelu Bertranda, przy identycznych założeniach dotyczących produktu i kosztów, firmy ustalające ceny doprowadzą do wyniku odpowiadającego konkurencji doskonałej: p = c.
• Różnica ta wynika z innego sposobu strategicznego oddziaływania: w Cournotcie firmy nie mogą natychmiast przejąć całego popytu poprzez niewielką modyfikację swojej decyzji, podczas gdy w Bertrandrze obniżenie ceny o ε pozwala na natychmiastowe przejęcie rynku.

Model Bertranda pozostaje jednym z fundamentów teorii oligopolu i wciąż stanowi aktywne pole badań. Rozszerzenia łączące elementy cenowej konkurencji z ograniczeniami po stronie podażowej, zróżnicowaniem produktów i dynamiką strategiczną dostarczają bogatszych, bardziej realistycznych obrazów realnych rynków oraz narzędzi do formułowania polityk gospodarczych.