Model duopolu Cournota – mikroekonomia

Model duopolu Cournota jest jednym z klasycznych narzędzi mikroekonomii służących do analizy zachowań firm na rynku z ograniczoną liczbą konkurentów. W artykule omówię genezę i podstawowe założenia tego modelu, przeprowadzę formalną analizę matematyczną prowadzącą do równowagi, przedstawię warianty i rozszerzenia oraz wskażę główne ograniczenia i praktyczne zastosowania. Celem jest pokazanie nie tylko mechaniki modelu, ale także jego znaczenia dla zrozumienia strategii firm i polityki konkurencji.

Geneza i podstawowe założenia modelu

Model zaproponował w 1838 roku francuski matematyk i ekonomista Antoine Augustin Cournot. Jego analiza dotyczyła rynku, na którym działają dwie firmy produkujące identyczny produkt i podejmujące decyzję o wielkości produkcji. Kluczowe założenia pozwalają znacząco uprościć problem i wyodrębnić mechanizmy determinujące wynik rynkowy.

Firmy są dwa — typowy duopol.
Produkt jest jednorodny i nie ma różnic jakościowych.
Decyzje dotyczą ilośći produkcji, a nie cen: firmy wybierają sprzężone wielkości, które sumują się do podaży rynkowej.
Rynek rządzi się znaną funkcją popytu, zwykle malejącą w stosunku do łącznej podaży.
Każda firma maksymalizuje zysk zakładając, że decyzja konkurenta pozostaje stała (tzw. strategia reakcyjna).
Brak jest współpracy między firmami; każda działa niezależnie.
Koszty produkcji są zwykle funkcją liniową lub stałe, co upraszcza analizę.

Te założenia pozwalają zredukować problem do analizy reakcji strategicznych firm i odkrycia punktu, w którym żadna z nich nie ma zachęty do jednostronnej zmiany swojej decyzji — czyli do równowagi typu Nash w przestrzeni ilości.

Formalna analiza: funkcje zysku i warunki optymalności

Aby uzyskać równowagę w modelu Cournota, przedstawmy prosty, klasyczny przykład: niech funkcja popytu rynkowego ma postać liniową P(Q) = a – bQ, gdzie Q = q1 + q2, a > 0, b > 0. Każda firma i (i = 1,2) produkuje ilość qi, a koszty krańcowe są stałe i równe c (można przyjąć c = 0 dla uproszczenia). Zysk firmy i wynosi:

πi = [P(Q) – c] * qi = [a – b(q1 + q2) – c] * qi.

Aby znaleźć optymalną reakcję firmy 1, traktujemy q2 jako stałe i maksymalizujemy π1 względem q1. Warunek pierwszego rzędu (FOC) daje:

∂π1/∂q1 = a – b(q1 + q2) – c – bq1 = 0

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

a – c – 2bq1 – bq2 = 0 → q1 = (a – c – bq2) / (2b)

Analogicznie dla firmy 2:

q2 = (a – c – bq1) / (2b)

Funkcje te nazywamy funkcja reakcji (reaction functions) każdej z firm. Równowaga Cournota uzyskiwana jest poprzez rozwiązanie układu równań reakcji jednocześnie dla q1 i q2. Rozwiązując układ, otrzymujemy symetryczne rozwiązanie (przy identycznych kosztach):

q1* = q2* = (a – c) / (3b)
Q* = 2(a – c) / (3b)
P* = a – bQ* = a – 2(a – c)/3 = (a + 2c) / 3

Widzimy, że każda z firm produkuje ilość równą 1/3 monopolicznej produkcji (gdyby jedna firma monopolizowała rynek, jej optymalna ilość przy tych założeniach wynosiłaby (a – c)/(2b)). W rezultacie łączna produkcja duopolu Cournota jest większa niż w monopolu, lecz mniejsza niż w konkurencji doskonałej, gdzie cena równa się kosztowi krańcowemu.

Interpretacja warunków optymalności

Warunek FOC oznacza, że firma porównuje korzyść z wyprodukowania dodatkowej jednostki (cena rynkowa) z kosztem jej wytworzenia, uwzględniając wpływ tej decyzji na cenę rynkową wynikającą ze wzrostu podaży. W modelu Cournota każda firma bierze poprawkę na reakcję konkurenta jedynie w postaci stałej qj, stąd mechanika gry ilości prowadzi do specyficznego łagodzenia monopolu: firmy zredukowane do ilościowego podejścia „konkurują przez ilość”, co powoduje obniżenie ceny w porównaniu do monopolu, ale wciąż utrzymanie pewnej rynkowej nadwyżki.

Równowaga Cournota i jej własności

Równowaga Cournota jest przykładem równowagi typu Nash w strategiach czystych: każda z firm wybiera ilość, biorąc jako dane wybory konkurenta, i żadna nie może zwiększyć zysku przez jednostronną zmianę swojej ilości. Własności tej równowagi zależą od parametrów modelu, ale kilka cech jest charakterystycznych:

Istnieje unikalna symetryczna równowaga przy konkeksji funkcji zysku i standardowych założeniach dotyczących popytu i kosztów.
Wynik jest pomiędzy monopolem a konkurencją doskonałą — im więcej firm, tym bardziej zbliżamy się do konkurencji doskonałej (granica to model Cournota z n firmami, gdzie q_i = (a – c)/[(n+1)b]).
Wersje z niesymetrycznymi kosztami prowadzą do nierównych ilości w równowadze: firma o niższym koszcie produkuje więcej.

W praktyce analiza porównawcza (comparative statics) ukazuje, jak zmiany parametrów wpływają na równowagę:

Zwiększenie parametru a (wzrost popytu) zwiększa q* i podnosi cenę rynkową.
Wzrost kosztu c obniża produkcję każdej firmy i podnosi cenę.
Zwiększenie liczby firm prowadzi do spadku ceny i wzrostu łącznej produkcji, aż do poziomu konkurencji doskonałej.

Asymetryczność i rozszerzenia

Gdy firmy mają różne koszty lub jedna dysponuje ograniczeniem produkcyjnym, rozwiązania stają się asymetryczne. W takiej sytuacji często stosuje się podejście „najpierw znajdź reakcje, potem rozwiąż układ” — otrzymując q1* ≠ q2*. Modele wielofirmowe (n > 2) dają wzór ogólny:

q_i* = (a – c_i) / [(n+1)b] + korekta zależna od średnich kosztów w modelach asymetrycznych.

Taki wynik ilustruje, jak przewaga kosztowa przekłada się na udział w rynku i zdolność do wyznaczania strategicznych ilości.

Stabilność dynamiczna i rozszerzenia czasowe

Klasyczny model Cournota jest statyczny: decyzje firm są jednorazowe. W praktyce firmy uczą się i dostosowują swoje ilości w czasie. Analiza dynamiczna bada, czy system reakcji prowadzi do stabilnej ścieżki i czy równowaga jest osiągalna w procesie dostosowań.

Popularne podejście to model adaptacyjny, gdzie firma i na bieżąco aktualizuje q_i z uwzględnieniem poprzedniej decyzji i obserwowanej reakcji konkurenta. Dla prostych reguł adaptacji mogą wystąpić:

Konwergencja do równowagi Cournota (jeśli reakcje są łagodne).
Oscylacje lub niestabilność (przy agresywnych reakcjach lub dużych opóźnieniach informacyjnych).
Możliwość wystąpienia cykli i chaotycznych trajektorii w bardziej złożonych modelach nieliniowych.

Badania pokazują, że stabilność zależy od nachylenia funkcji reakcji: im bardziej stroma funkcja reakcji, tym większe ryzyko niestabilności. W praktyce firmy mogą stosować strategie przypominające dyscyplinę rynkową: ekspansywność w produkcji jest stopniowana, aby uniknąć niekorzystnych wahań cen. Dodatkowo, model Cournota można rozszerzyć o elementy takie jak:

koszty zmiany produkcji (adjustment costs),
informację asymetryczną i niepewność co do popytu lub kosztów,
możliwość wejścia nowych firm (wejście i wyjście z rynku),
uwzględnienie produktów zróżnicowanych zamiast jednorodnych.

Zastosowania praktyczne i ograniczenia modelu

Model Cournota ma szerokie zastosowanie teoretyczne i empiryczne w analizie rynków oligopolistycznych. Pomaga zrozumieć, jak decyzje ilościowe wpływają na ceny, zyski i efektywność rynkową. Przykłady zastosowań to rynki surowców, przemysł ciężki czy segmenty transportu, gdzie firmy często konkurują przez wolumeny. Niemniej model ma swoje ograniczenia:

Założenie jednorodności produktów nie zawsze jest realistyczne — w wielu sektorach konkurencja cenowa i różnicowanie produktu są kluczowe.
Decyzje w rzeczywistości bardzo często dotyczą cen, nie tylko ilości, co prowadzi do alternatywnego modelu Bertrandowskiego, który przewiduje inne rezultaty (często cenę zbliżoną do kosztu krańcowego przy homogeniczności produktów).
Model ignoruje wiele aspektów dynamicznych, takich jak inwestycje w pojemność produkcyjną, kontrakty długoterminowe czy reputację.
Założenie pełnej wiedzy o funkcji popytu i kosztach konkurenta jest często zbyt silne w praktyce.

Empiryczne testowanie

Empiryczne badania modelu Cournota konfrontują teoretyczne prognozy z danymi rynkowymi. Metody estymacji obejmują modelowanie funkcji reakcji i analiza struktury kosztów. W praktyce wyniki badań są mieszane: na niektórych rynkach zachowania ilościowe dominują i model Cournota dobrze objaśnia obserwacje; w innych lepsze dopasowanie daje model Bertrandowski lub hybrydowe rozwiązania, które uwzględniają możliwości działania zarówno przez cenę, jak i ilość.

Polityka konkurencyjna i implikacje dla regulacji

Model Cournota ma istotne implikacje dla polityki antymonopolowej i regulacji rynków oligopolistycznych. Z perspektywy welfare ekonomicznego wiadomo, że duopol Cournota generuje wyższe ceny niż konkurencja, ale niższe niż monopol. Dlatego:

Interwencje zmierzające do zwiększenia konkurencji (np. obniżenie barier wejścia) mogą zbliżyć rynek do efektywności konkurencji doskonałej.
Kierunki polityki regulacyjnej powinny też uwzględniać ryzyko niestabilności i strategicznych zachowań, takich jak wojny cenowe czy porozumienia kartelowe.
W przypadku fuzji istotne jest przewidywanie, jak zmieni się równowaga: koncentracja często prowadzi do niższej łącznej produkcji i wyższych cen, ale szczegóły zależą od modelu konkurencji (Cournot vs Bertrand) i specyfiki kosztów.

W praktyce regulatorzy stosują modele teoretyczne jako narzędzie scenariuszowe, nie jako jedyne źródło decyzji. Analizy ekonomiczne uwzględniają symulacje, dane rynkowe i badania empiryczne, aby ocenić skutki polityk i transakcji gospodarczych.

Wnioski z analizy i dalsze kierunki badań

Model Cournota pozostaje fundamentem teorii oligopolu i narzędziem dydaktycznym, które wprowadza kluczowe pojęcia: strategiczną interakcję, funkcja reakcji, i równowaga w warunkach ograniczonej liczby graczy rynkowych. Pomimo prostoty, model daje istotne intuicje dotyczące wpływu kosztów, popytu i liczby firm na wynik rynkowy. Dalsze prace rozwijają ten model, łącząc go z teorią gier dynamicznych, uczeniem maszynowym (analiza adaptacyjnych strategii), oraz badaniami empirycznymi umożliwiającymi lepsze dopasowanie do rzeczywistych struktur rynkowych.

W literaturze współczesnej istotne są również badania hybrydowe, które łączą elementy Cournota i Bertranda oraz modele z różnicowaniem produktu i negocjacjami kontraktowymi. Dla praktyków i regulatorów model Cournota wciąż pozostaje użytecznym punktem wyjścia do analizy konkurencji w warunkach oligopolu, choć zawsze należy pamiętać o ograniczeniach i konieczności empirycznej weryfikacji w konkretnych zastosowaniach.