Teoria równowagi sekwencyjnej – teoria gier

Teoria równowagi sekwencyjnej zajmuje centralne miejsce w analizie gier dynamicznych. Pozwala ona badać, jak gracze podejmują decyzje, mając do dyspozycji informacje częściowe oraz obserwując przebieg rozgrywki w czasie. W odróżnieniu od prostszych pojęć równowagi, teoria ta wprowadza pojęcie wiarygodności strategii poza ścieżką równowagi oraz formalizuje sposób, w jaki gracze aktualizują swoje przekonania przy nietypowych obserwacjach. Artykuł prezentuje główne założenia, formalne definicje, przykłady zastosowań oraz ograniczenia koncepcji, dając całościowy obraz tego, dlaczego równowaga sekwencyjna jest istotnym narzędziem analizy ekonomicznej.

Podstawy formalne: struktura gry i kluczowe pojęcia

Analizę należy rozpocząć od przypomnienia podstawowych elementów gry dynamicznej w postaci drzewa rozgrywki. Grę opisuje się przez zbiór graczy, zbiór węzłów historii (stanów gry), funkcję wyborów w każdym węźle, funkcję informacji określającą, które węzły należą do tego samego zestawu informacji, oraz preferencje graczy wyrażone przez wypłaty przy końcowych historiach. Istotnym założeniem jest często doskonała pamięć (perfect recall), tzn. każdy gracz pamięta swoje poprzednie decyzje i informacje, jakie posiadał.

W kontekście równowagi sekwencyjnej kluczowe pojęcia to:

• strategia — kompletna reguła wyboru dla gracza określająca działanie w każdym możliwym zestawie informacji;
• oczekiwania (wiarygodności) — rozkłady prawdopodobieństwa przypisywane historiom w obrębie zestawu informacji;
• ocena (assessment) — para składająca się z profilu strategii i systemu przekonań;
• sekwencyjna racjonalność — wymóg, aby strategie maksymalizowały oczekiwaną wypłatę przy przyjętych przekonaniach w każdym zestawie informacji;
• konsystencja (Bayesowska) — wymóg, że przekonania są zgodne z regułą Bayesa tam, gdzie to możliwe, oraz powstają jako granica przekonań w grach poddanych niewielkim zakłóceniom (perturbacjom).

Formalna definicja równowagi sekwencyjnej wprowadza pojęcie oceny (sigma, mu). Sigma to profil strategii, a mu to system przekonań: dla każdego zestawu informacji mu przypisuje rozkład prawdopodobieństwa pośród historii w tym zestawie. Równowaga sekwencyjna to taka ocena, która spełnia dwa warunki: (1) sekwencyjna racjonalność — każdy gracz optymalizuje swoją strategię wobec mu i pozostałych strategii; (2) konsystencja — mu powstaje jako granica Bayesowskiego przeliczania przy ciągu strategii całkowicie mieszanych zbliżających się do sigma.

Dlaczego zwykłe równowagi (Nasha) nie wystarczają — przykład i intuicja

Równowaga Nasha opisuje sytuację, w której żaden gracz nie ma motywacji do jednostronnej zmiany strategii, zakładając, że inni gracze pozostają przy swoich strategiach. Jednak w grach dynamicznych taki warunek może zezwalać na strategie, które opierają się na niewiarygodnych groźbach lub obietnicach. Równowaga sekwencyjna eliminuje takie rozwiązania, wymagając, by zachowania były racjonalne także poza ścieżką równowagi, przy założonych przekonaniach zgodnych z Bayesem lub ich granicami.

Abstrakcyjny przykład: rozważmy prostą grę, w której gracz 1 może grozić karą (ruch A) lub zgodzić się na współpracę (ruch B). Gracz 2, widząc groźbę, podejmuje decyzję. Istnieje profil strategii, który jest równowagą Nasha dzięki temu, że gracz 1 grozi karą w sytuacjach, które nie występują na ścieżce równowagi. Jednak groźba ta może być nierealistyczna: po zaistnieniu pewnej historii groźba prowadziłaby do niższej wypłaty dla grożącego, więc racjonalny gracz nie wykonałby tej groźby. Równowaga sekwencyjna wymaga, by przy nieoczekiwanych obserwacjach przekonania i optymalne reakcje były spójne z drobną możliwością wystąpienia wszystkich strategii (perturbacje), co eliminuje wspomniane niewiarygodne groźby.

Formalne warunki: sekwencyjna racjonalność i konsystencja

Rozbijmy definicję na dwie części:

Sekwencyjna racjonalność

Dla każdego zestawu informacji h gracza i ustalonego systemu przekonań mu, strategia sigma_i gracza i wybiera działanie, które maksymalizuje oczekiwaną wypłatę warunkową na mu(h). Oznacza to, że nawet w informacji, która nie jest osiągana na ścieżce równowagi, gracz musi rozważyć, jakie będą konsekwencje jego działań, zakładając, że wierzy w mu. Sekwencyjna racjonalność gwarantuje spójność decyzji w czasie i sensowność odpowiedzi na nieoczekiwane sygnały.

Konsystencja (Bayesowska konsystencja przez perturbacje)

Głównym problemem są zestawy informacji, które mają zerowe prawdopodobieństwo przy profilu strategii sigma. W takich przypadkach reguła Bayesa nie daje jednoznacznej odpowiedzi, jakie przekonania powinny obowiązywać. Kreps i Wilson zaproponowali rozwiązanie: wymagają, by mu było granicą przekonań uzyskanych przez stosowanie reguły Bayesa w ciągu gier, w których każdy strategia jest lekko „zakłócona” (każdy działanie ma dodatnie prawdopodobieństwo — strategia całkowicie mieszana), a następnie te zakłócone strategie zbliżają się do sigma. Dzięki temu przekonania są zgodne z naturalnymi perturbacjami i nie mogą być dowolnie dobierane, by uzasadnić nieracjonalne działania.

Związek z innymi pojęciami równowagi i ich porównanie

Równowaga sekwencyjna jest jednym z bardziej wyrafinowanych refinamentów równowagi Nasha. Warto porównać ją z kilkoma innymi koncepcjami:

• Równowaga Nasha: wymaga jedynie braku zachęt do jednostronnej dewiacji w całej grze, nie odnosi się do wiarygodności działań poza ścieżką równowagi;
• Równowaga podgrania (Subgame Perfect Equilibrium, SPE): eliminuje nieracjonalne groźby w podgrach (subgames), ale w grach z informacją niepełną SPE nie określa wiarygodnych przekonań w informacji nieosiąganych na ścieżce;
• Perfekcyjna równowaga Bayesowska (PBE): wprowadza pojęcie przekonań i sekwencyjnej racjonalności, lecz jej formalne wymagania dotyczące konsystencji mogą być mniej restrykcyjne niż te w równowadze sekwencyjnej;
• Równowaga sekwencyjna jest silniejszym pojęciem niż PBE w tym sensie, że każda równowaga sekwencyjna spełnia warunki PBE, ale nie każda PBE jest równowagą sekwencyjną (istnieją PBE, które opierają się na nieuzasadnionych przekonaniach niebędących granicami Bayesowskich przekonań z perturbacji).

W grach o doskonałej informacji (gdzie nie ma zestawów informacji łączących różne węzły), równowaga sekwencyjna i SPE często dają te same rozwiązania, ponieważ kwestia przekonań poza ścieżką nie występuje. Różnice pojawiają się w grach z niepełną lub asymetryczną informacją, w których rola przekonań jest kluczowa.

Przykłady ilustrujące znaczenie przekonań poza ścieżką

Gra sygnalizacyjna (model Spence’a)

W klasycznym modelu sygnalizacji pracownik może być typu wysoki lub niski (umiejętności), a pracodawca obserwuje jedynie sygnał (np. poziom wykształcenia). Strategia pracownika określa wybór sygnału w zależności od typu. Wybór pracodawcy polega na ustaleniu wynagrodzenia na podstawie sygnału. Możliwe są równowagi separujące (różne typy wybierają różne sygnały) i poolingowe (oba typy wybierają ten sam sygnał). Równowaga sekwencyjna wymaga, aby przekonania pracodawcy przy niespodziewanym sygnale były uzasadnione przez perturbacje: jeśli pewien sygnał nie jest używany przez typ niski w żadnym z bliskich profili strategii, pracodawca musi przypisać niskie prawdopodobieństwo tego typu przy tym sygnale, i odwrotnie. Dzięki temu nieuzasadnione arytmetyczne przypisania prawdopodobieństw są odrzucane.

Ultimatum i groźby odwetu

W grach typu ultimatum oferta podziału zasobów i akceptacja/odrzucenie przez drugiego gracza stanowią naturalne pole do analizy przekonań. Groźby odwetowe (np. odmowa akceptacji w celu ukarania proponenta) muszą być wiarygodne: jeśli odwet przyniósłby graczowi odwiedzającemu większe straty niż zysk, nie można go uznać za racjonalny. Równowaga sekwencyjna wyklucza takie groźby, wymagając sekwencyjnej racjonalności także po nietypowych ofertach.

Metody konstrukcji i weryfikacji równowagi sekwencyjnej

W praktyce znalezienie równowagi sekwencyjnej przebiega zwykle według następujących kroków:

• Określenie profilu strategii sigma, który potencjalnie może być równowagą;
• Wyliczenie przekonań mu przy użyciu reguły Bayesa tam, gdzie droga sigma generuje dodatnie prawdopodobieństwo;
• Proponowanie przekonań mu dla zestawów informacji o zerowym prawdopodobieństwie i sprawdzenie, czy można je uzyskać jako granicę przekonań powstałych w ciągu strategii całkowicie mieszanych (perturbacje);
• Sprawdzenie sekwencyjnej racjonalności: w każdym zestawie informacji strategia musi maksymalizować oczekiwaną wypłatę względem mu;
• Jeśli warunki są spełnione — mamy równowagę sekwencyjną; jeśli nie — należy modyfikować sigma lub mu i próbować ponownie.

Główna trudność praktyczna to konstrukcja odpowiedniego ciągu perturbacji oraz dowód istnienia granicy przekonań prowadzącej do zadanego mu. W prostych modelach często wystarcza analiza algebraiczna i intuicyjne uzasadnienie, jednak w bardziej złożonych grach stosuje się narzędzia numeryczne i metody programowania dynamicznego.

Zastosowania w ekonomii i naukach społecznych

Równowaga sekwencyjna znalazła szerokie zastosowanie w analizie sytuacji, gdzie decyzje są rozłożone w czasie, a uczestnicy mają ograniczoną informację. Kluczowe obszary to:

• Teoria sygnalizacji i zasobów ludzkich (kiedy inwestycja w edukację jest sygnałem jakości);
• Organizacja przemysłu i strategie odstraszania w warunkach asymetrii informacji (np. groźba wojny cenowej);
• Mechanizmy aukcyjne i projektowanie instytucji, gdzie zachowania poza ścieżką równowagi wpływają na wyniki właściwe aukcji;
• Teoria kontraktów i negocjacje wieloetapowe, w których reputacja i sekwencja zachowań determinują przebieg współpracy;
• Polityka i stosunki międzynarodowe — analiza wiarygodności groźby użycia siły lub dotrzymania obietnic sojuszniczych.

Dzięki analizie przekonań i dopuszczaniu perturbacji badacze mogą modelować, jak drobne prawdopodobieństwa błędnych lub niezamierzonych działań wpływają na zachowanie racjonalnych graczy i kształt równowag.

Krytyka, ograniczenia i dalsze kierunki badań

Mimo swoich zalet teoria równowagi sekwencyjnej nie jest wolna od krytyki i ograniczeń. Do najważniejszych należą:

• Niejednoznaczność przekonań poza ścieżką równowagi — choć konsystencja przez perturbacje zawęża przestrzeń możliwych mu, w niektórych grach i tak występuje mnogość równowag z różnymi zachowaniami off-path;
• Trudności obliczeniowe — w złożonych modelach konstrukcja odpowiednich ciągów perturbacji i weryfikacja warunku granicy może być złożona;
• Empiryczna weryfikacja — sprawdzenie, czy obserwowana ludzka decyzja odpowiada równowadze sekwencyjnej, wymaga danych na temat wierzeń i reakcji na rzadkie wydarzenia, co jest trudne w eksperymentach;
• Wybór modelu perturbacji — choć metoda perturbacji ma silne uzasadnienie koncepcyjne, różne sposoby wprowadzania drobnych zakłóceń mogą prowadzić do różnych granic i różnić się interpretacyjnie.

W literaturze rozwijane są alternatywne refinamenty i uzupełnienia, takie jak równowaga perfeckcyjna (tzw. proper equilibrium), różne wersje perfekcyjnej równowagi Bayesowskiej oraz koncepcje opierające się na kryteriach epistemicznych (np. przekonania odporne na odroczone perturbacje). Badania empiryczne i eksperymenty laboratoryjne pomagają ocenić, które z tych konceptów lepiej opisują rzeczywiste zachowania.

Wnioski i praktyczne wskazówki dla modelujących

Analizując gry dynamiczne z asymetrią informacji, warto pamiętać o kilku praktycznych wskazówkach:

• Zawsze formułować system przekonań mu i uzasadniać go przez Bayesowskie aktualizacje tam, gdzie to możliwe;
• Przy zestawach informacji o zerowym prawdopodobieństwie explicite rozważyć, jakie perturbacje strategii są realistyczne i czy proponowane mu są ich granicą;
• Sprawdzać sekwencyjną racjonalność lokalnie w każdym zestawie informacji — intuicyjne „globalne” argumenty nie wystarczą;
• Porównywać otrzymane rozwiązania z innymi refinamentami, by ocenić, na ile wynik jest artefaktem konkretnego założenia o przekonaniach.

Równowaga sekwencyjna pozostaje potężnym narzędziem do analizy strategicznej interakcji w czasie, oferując precyzyjną ramę do oceny wiarygodności zachowań oraz spójności przekonań. Dzięki takim narzędziom ekonomia i nauki społeczne zyskują możliwość bardziej realistycznego modelowania sytuacji, w których decyzje są rozłożone w czasie i zależą od obserwowanych sygnałów.